Question

对于数列{a_n}若a₁=a+(a＞0,且a≠1),a_n+1=a₁-.

(1)求a₂、a₃、a₄，并猜想{a_n}的表达式；

(2)用数学归纳法证明你的猜想.

Answer 1

解析：(1)∵a₁=a+,

a_n+1=a₁-,

∴a₂=a₁-=a+-

=

a³=a₁-=.

同理可得

a₄=.

猜想a_n=.

(2)①当n=1时，右边==a₁，等式成立.

②假设当n=k时(k∈N^*)，等式成立，即

a_k=,则当n=k+1时,a_k+1=a₁-

这就是说，当n=k+1时，等式也成立.

根据①②可知，对于一切n∈N^*，a_n=成立.