Question

设a＞0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x∈(0，+∞))的单调区间．

 

Answer 1

答案：
解析：

f′(x)(x＞0) 　　当a＞0，x＞0时 　　f′(x)＞0x2+(2a-4)x+a2＞0， 　　f′(x)＜0x2+(2a-4)x+a2＜0． 　　(1)当a＞1，对所有x＞0，有 　　x2+(2a-4)x+a2＞0 　　即f′(x)＞0，此时f(x)在(0，+∞)内单调递增 　　(2)当a=1时，对x≠1，有 　　x2+(2a-4)x+a2＞0 　　即f′(x)＞0，此时f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递增 　　又知函数f(x)在x=1处连续，因此，函数f(x)在(0，+∞)内单调递增 　　(3)当0＜a＜1时，令f′(x)＞0，即 　　x2+(2a-4)x+a2＞0 　　解得x＜2-a-2或x＞2-a+2 　　因此，函数f(x)在区间(0，2-a-2)内单调递增，在区间(2-a+2，+∞)内也单调递增 　　令f′(x)＜0，即x2+(2a-4)x+a2＜0 　　解得2-a-2＜x＜2-a+2 　　因此，函数f(x)在区间(2-a-2+2)内单调递减．

提示：

本小题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．