Question

已知集合A={x|x²+a≤|a+1|x,a∈R}.

(1)求A；

(2)若以a为首项，a为公比的等比数列的前n项和记为S_n，问是否存在a，使得对于任意的n∈N^*，均有S_n∈A，若存在，求a的范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)由x²+a≤|a+1|x,a∈R得或

∴a＞1时，1≤x≤a;-1≤a≤1时,a≤x≤1;a＜-1时,-1≤x≤-a.                        

∴当a＞1时,A={x|1≤x≤a};当-1≤a≤1时,A={x|a≤x≤1};当a＜-1时,A={x|-1≤x≤-a}.

(2)①当a≥1时,A={x|a≤x≤1},而S₂=a+a²＞a,∴S₂A.                             

②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1},而S_n=a+a²+…+aⁿ是关于n的递增函数,

且S_n=,∴S_n∈［a,).

对于任意的n∈N^*，S_n∈A只要a满足0＜a≤为所求.

③当a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a},S₁=aA,故不存在这样的a，使S_n∈A.

④当a=-1时，A={x|-1≤x≤1},S_2n-1=-1,S_2n=0适合，∴a=-1为所求.

⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1},

∵S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ(1+a)＞S_2n-1,

S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹(1+a)＜S_2n,

∴S_2n+1＞S_2n-1,S_2n+2＜S_2n,故S₁＜S₃＜…＜S_2n+1＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂.

∴要使S_n∈A,只需即-1＜a＜0.

综上得-1≤a＜0或0＜a＜.