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    （2008•如东县三模）在等差数列{an}中，公差d≠0，且a5=6，
    （1）求a4+a6的值．
    （2）当a3=3时，在数列{an}中是否存在一项am（m正整数），使得 a3，a5，am成等比数列，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
    （3）若自然数n1，n2，n3，…，nt，…，（t为正整数）满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…，使得a3，a5，an1，…，ant，…成等比数列，求a3的所有可能值．
    分析：（1）根据等差数列的性质，易得a4+a6=2a5=12；
    （2）根据等差数列的通项公式，建立方程组解出首项a1与公差d，得到an=
    3
    2
    (n-1)    ，再由等比中项的定义建立关系式：a52=
    a
     
    3
    am    ，转化为关于m的方程并解之可得m=9；
    （3）由题意用等差数列通项公式化简
    a
    2
    5
    =a3•an1    ，得[6+（n1-5）d]（6-2d）=36解出d=3-
    6
    n1-5
    ，可得d∈Q．利用等比数列的通项公式，结合题意算出ant=a5•(
    a5
    a3
    )    t    ，可得nt关于d和t的表达式，再由nt∈{6，7，8，9，10，…}对一切t∈Z+成立，可得
    3
    3-d
    ∈    {2，3，4，5，…}．再设
    3
    3-d
    =m    ，利用前面的关系式化简并结合二项定理得到
    2m(mt-1)
    m-1
    ∈Z    恒成立，即可得到a3的所有可能值．
    解答：解：（1）∵在等差数列{an}中，公差d≠0，且a5=6，
    ∴2a5=a4+a6，结合a5=6得a4+a6=12…（3分）
    （2）在等差数列{an}中，公差d≠0，且a5=6，a3=3
    则
    a1+2d=3
    a1+4d=6
    ⇒d=
    3
    2
    ，a1=0    ，
    ∴an=
    3
    2
    (n-1)    n∈N*…（5分）
    又∵a52=
    a
     
    3
    am    ，可得36=3am，
    ∴12=
    3
    2
    (m-1)    ，解之得m=9…（8分）
    （3）∵a3=6-2d，an1=6+(n1-5)d
    ∴由a3，a5，an1成等比数列，得到
    a
    2
    5
    =a3•an1
    即[6+（n1-5）d]（6-2d）=36，
    ∴d=
    3n1-21
    n1-5
    =3-
    6
    n1-5
    ，由此可得d∈Q…（14分）
    又∵a3，a5，an1，…，ant，…成等比数列，∴ant=a5•(
    a5
    a3
    )t=a5+(nt-5)•d
    ∴nt=5+
    6(
    3
    3-d
    )    t    -6
    d
    ∈    {6，7，8，9，10，…}对一切t∈Z+成立，
    即
    3
    3-d
    ∈    {2，3，4，5，…}（*），
    设
    3
    3-d
    =m    （m∈{2，3，4，5，…}），
    ∴d=3-
    3
    m
    ，得
    6(
    3
    3-d
    )    t+1    -6
    d
    =
    6mt+1-6
    3-
    3
    m
    =
    2m(mt-1)
    m-1
    ，
    由二项式定理得
    2m(mt-1)
    m-1
    ∈Z    恒成立
    ∴a3=6-2d=6-2(3-
    3
    m
    )=
    6
    m
    （m∈{2，3，4，5，…}）
    点评：本题给出等差、等比数列模型，求通项公式和参数m的值，并讨论满足条件的项a3所有可能值．着重考查了等差等比数列的通项公式、整数解的讨论和二项式定理等知识，属于中档题．
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    1
    m
    +
    2
    n
    的最小值为
    8
    8
    ．

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    kx-my≤0
    y≥0
    表示的平面区域的面积是
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    4
    1
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    3
    5
    （
    π
    2
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    1
    2
    ，则tan（α-2β）的值为
    7
    24
    7
    24
    ．

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    1
    4
    1
    4
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    k
    2010
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    ②f（x）=sinx+cosx；  
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    x
    x2+x+1
    ；  
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    ③
    ③
    ．

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