在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,M、N分别为BB1、A1C1的中点。
(Ⅰ)求证:AB⊥CB1;
(Ⅱ)求证:MN//平面ABC1。
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见解析
(1)在直三棱柱ABC—A1B1C1中,
侧面BB1C1C⊥底面ABC,且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC,
∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,
∴AB⊥平面BB1C??1C
∵CB1
平面BB1C1C,
∴AB⊥CB1.
(2)证法一
取AA1的中点E,连NE、ME,
∵在△AA1C??1中,N、E是中点,
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又∵M、E分别是BB1、AA1的中点,
∴ME//BA,
又∵AB∩AC1=A,
∴平面MNE//平面ABC1,
而MN
平面MNE,
∴MN//ABC1.
证法二
取AC1的中点F,连BF、NF
在△AA1C1中,N、F是中点,
∴NF
AA1,
又∵BM
AA1,
∴EF
BM,
故四边形BMNF是平行四边形,
∴MN//BF,………………10分
而EF
面ABC1,MN
平面ABC1,∴MN//面ABC1.
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