Question

已知x＞0，y＞0且，求x＋y的最小值．

Answer 1

答案：16
解析：

要求x＋y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会． 解法1：∵x＞0，y＞0且， ∴． 当且仅当，即x＝4，y＝12时等号成立． ∴x＋y的最小值是16． 解法2：由，得． ∵x＞0，y＞0∴y＞9． ． ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴． 当且仅当，即y＝12时，取等号，此时，x＝4．∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16． 解法3：由，得y＋9x＝xy， ∴(x－1)(y－9)＝9． ∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9) ． 当且仅当x－1＝y－9时取等号．又， ∴x＝4，y＝12． ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16． 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察学会形．另外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响．