Question

 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BC的中点．

   （1）求异面直线AE与A₁C所成的角；k*s*5*u

   （2）若G为C₁C上一点，且EG⊥A₁C，试确定点G的位置；

   （3）在（2）的条件下，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer 1

解：（1）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，

       则AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C是异面直线A

       与A₁C所成的角。设，

       则

              中， 。

       所以异面直线AE与A₁C所成的角为。  ------------------5分

   （2）．由（1）知，A₁E₁⊥B₁C₁,

       又因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱

              ⊥BCC₁B₁,又EG⊥A₁C   CE₁⊥EG．

              ∠=∠GEC  ~

              即得

       所以G是CC₁的中点             ---------------------------- --9分

   （3）连结AG ,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥A      C．

       又平面ABC⊥平面ACC₁A₁   EP⊥平面ACC₁A₁

       而PQ⊥AG   EQ⊥AG．∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．

       由EP=a,AP=a,PQ=,得

       所以二面角C-AG-E的平面角正切值是   -------------14分