Question

已知函数f（x）=x²+ax，x∈R．
（1）若f（x+1）=f（-x），求a的值；
（2）当a=2时，求g（x）=xf（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先由条件求得f（x+1）和f（-x）的解析式，再根据f（x+1）=f（-x），求得a的值．
（2）当a=2时，先求出 g（x）的解析式，再求出它的导数，根据导数的符号求出函数g（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵已知函数f（x）=x²+ax，故 f（x+1）=（x+1）²+a（x+1）=x²+（2+a）x+1+a，（1分）
故f（-x）=）=x²-ax
再由f（x+1）=f（-x），可得  x²+（2+a）x+1+a=x²-ax，（ 2分）
所以有：1+a=0，2+a=-a，解得a=-1．（3分）
（2）当a=2时，∵g（x）=xf（x）=x（x²+2x）=x³+2x²，（5分）
∴g′(x)=3x2+4x=x(3x+4)=3x(x+

4

3

)．（7分）
当x＜-

4

3

时，g'（x）＞0，当x∈(-

4

3

，0)时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0，（9分）
所以g（x）=xf（x）的单调递增区间为(-∞，-

4

3

)和（0，+∞），单调递减区间为(-

4

3

，0)．（10分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间的方法，属于基础题．