Question

甲乙二人轮流掷一枚均匀的正方体骰子，规定：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则由另一人来掷，且第一次由甲掷.设第n次由甲掷的概率为p_n，由乙掷的概率为q_n.

(1)计算p₂，p₃的值；

(2)求证{p_n－q_n}是等比数列；

(3)求p_n.

Answer 1

（1）p₂＝，p₃＝ p₂＋ q₂＝；（2）同解析；（3）p_n＝。

解析:

(1)由已知，p₁＝1,q₁＝0 ---1分  p₂＝,且q₂＝

 p₃＝ p₂＋ q₂＝

(2)由已知，p_n＝p_n－1＋q_n－1,q_n＝q_n－1＋p_n－1(n≥2)   

两式相减得：p_n－q_n＝(p_n－1－q_n－1)＋(q_n－1－p_n－1) ＝－(p_n－1－q_n－1) 

即数列{p_n－q_n}是公比为－等比数列； 

(3)由(2)得：p_n－q_n＝(－)^n－1(p₁－q₁)＝(－)^n－1     

又p_n＋q_n＝1   ∴p_n＝(－)^n－1＋q_n＝(－)^n－1＋(1－p_n) 

∴p_n＝(－)^n－1＋(n∈N_＋)    ∴p_n＝.