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    设函数．数列满足，．

    （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

    （Ⅱ）证明：；

    （Ⅲ）设，整数．证明：．

    解：（Ⅰ）当0＜x＜1时，

    =1-lnx-1=- lnx＞0,

    所以函数f(x)在区间（0,1）是增函数.

    （Ⅱ）当0＜x＜1时,f(x)=x-xlnx＞x.

    又由（Ⅰ）及f(x)在x=1处连续加，

    当0＜x＜1时,f(x)＜f(1)=1.

    因此，当0＜x＜1时，0＜x＜f(x)＜1  ①

    下面用数学归纳法证明：②

    (1)

    0＜a1＜a2＜1,即当n=1时，不等式②成立.

    （2）假设n=k时，不等式②成立，即

    则由①可得

    故当n=k+1时，不等式②也成立.

    综合（1）（2）证得：


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    （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

    （Ⅱ）证明：；

    （Ⅲ）设，整数．证明：．

     

     

     

     

     

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