Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的离心率为

6

3

，一个焦点为F(2

2

，0)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-

5

2

交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M（0，3）为圆心的圆上，求k的值．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=2

2

．              …（1分）
由e=

c

a

=

6

3

，得 a=2

3

，从而b²=a²-c²=4．    …（4分）
所以，椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

4

=1．                    …（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4（1+3k²）x²-60kx+27=0．             …（7分）
由△=3600k²-16（1+3k²）×27＞0，得k2＞

3

16

，且x1+x2=

15k

1+3k2

． …（9分）
设线段AB的中点为D，则xD=

15k

2+6k2

，yD=kxD-

5

2

=

-5

2+6k2

．…（10分）
由点A，B都在以点（0，3）为圆心的圆上，得k_MD•k=-1，…（11分）
即 

3+ 5 2+6k2

-15k 2+6k2

•k=-1，解得 k2=

2

9

，符合题意．  …（13分）
所以 k=±

2

3

．                          …（14分）