Question

在三棱锥P-ABC中，AC=a，BC=2a，AB=

3

a，侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，点P到平面ABC的距离为

3

2

a．
（Ⅰ）求二面角P-AC-B的大小：
（Ⅱ）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据勾股定理得△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，点P在平面ABC内的射影是Pt△ABC的外心，即斜边BC的中点E，取AC的中点D，连接PD，DE，PE，则∠PDE为二面角P-AC-B的平面角，最后在Rt△PED中求出此角即可；
（Ⅱ）设点B到平面PAC的距离为h，则由V_P-ABC=V_B-APC建立等式求出h，从而求出点B到平面PAC的距离．

解答：解：（Ⅰ）∵AC=a，BC=2a，AB=

3

a，∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，
∵侧棱PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，
∴点P在平面ABC内的射影是Pt△ABC的外心，即斜边BC的中点E．
取AC的中点D，连接PD，DE，PE，则PE=

3

2

a，DE∥AB，
∴AC⊥DE，DE=

AB

2

=

3

2

a
∵PE⊥平面ABC，∴DE是PD在平面ABC内的射影．∵AC⊥DE，∴AC⊥PD．
∴∠PDE为二面角P-AC-B的平面角．
在Rt△PED中，tan∠PDE=

PE

DE

=

3

．
∴∠PDE=

π

3

，故二面角P-AC-B的大小为

π

3

．
（Ⅱ）∵AC=a，PD=

PE2+DE2

=

3

a，∴S△ABC=

1

2

AC•PD=

3

2

a2．
设点B到平面PAC的距离为h，则由V_P-ABC=V_B-APC得

1

3

S△ABC• PE=

1

3

S△APC•h．
解方程得h=

3

2

a，∴点B到平面PAC的距离等于

3

2

a．

点评：本题主要考查了二面角平面角的度量，以及点到平面的距离，同时考查了等体积法等有关知识，考查空间想象能力，属于中档题．