Question

已知数列{a_n}中，其中S_n为数列{a_n}的前n项和，并且S_n+1＝4a_n＋2(n∈N^*)，a₁＝1

(1)b_n＝a_n+1－2a_n(n∈N^*)，求证：数列{b_n}是等比数列；

(2)设数列c_n＝(n∈N^*)求证：数列{c_n}是等差数列；

(3)求数列{a_n}的通项公式和前n项．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由Sn+1＝4an＋2(n∈N*)知，Sn+2＝4an+1＋2，两式相减得an+2＝4an+1－4an 　　an+2－2an+1＝2(an+1－2an)，又bn＝an+1－2an所以bn＝2bn+1　① 　　已知S2＝4a1＋2，a1＝1解得a2＝5，b1＝a2－2a1＝3　② 　　由①②得数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，且bn＝3·2n－1．　4分 　　(2)∵cn＝(n∈N*)，cn+1－cn＝…＝．又c1＝＝，故数列{cn}是首项为，公差是的等差数列，cn＝n－　8分 　　(3)∵cn＝(n∈N*)又cn＝n－∴an＝(3n－1)2n－2　10分 　　当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)2n－1＋2；当n＝1时S1＝a1＝1也适合上式，所以{an}的前n项为Sn＝(3n－4)2n－1＋2　12分