Question

若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是________．

Answer 1

k=4或k＜0
分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx-2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．
解答：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（-1，0）
当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）
∴lgkx-2lg（x+1）=0
∴lgkx-lg（x+1）²=0，即kx=（x+1）²在（0，+∞）仅有一个解
∴x²-（k-2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解
令f（x）=x²-（k-2）x+1
又当x=0时，f（x）=x²-（k-2）x+1=1＞0
∴△=（k-2）²-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍，或4
k=0时lgkx无意义，舍去
∴k=4
当k＜0时，函数定义域是（-1，0）
函数y=kx是一个递减过（-1，-k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）²在（-1，0）递增且过两点（-1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意
故答案为：k=4或k＜0．
点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题．