练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）=x2+alnx的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率为10．
    （Ⅰ）求实数a的值；
    （Ⅱ）判断方程f（x）=2x根的个数，证明你的结论；
    （Ⅲ）探究：是否存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．
    解法一：（Ⅰ）因为f（x）=x2+alnx，所以f′(x)=2x+
    a
    x
    ，
    函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=2+a．
    由2+a=10得：a=8．              …（4分）
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）-2x=x2-2x+8lnx．
    因为F（1）=-1＜0，F（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一个根．
    又因为F′(x)=2x-2+
    8
    x
    ≥2
    		16
    -2=6＞0    ，所以F（x）在（0，+∞）上递增，
    所以函数F（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，即方程f（x）=2x有且只有一
    个实根．                 …（7分）
    （Ⅲ）证明如下：
    由f（x）=x2+8lnx，f′(x)=2x+
    8
    x
    ，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
    线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
    8
    t
    )(x-t)    ，
    即y=(2t+
    8
    t
    )x-t2+8lnt-8    （x＞0）．            …（8分）
    记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
    8
    t
    )x-t2+8lnt-8]    =x2+8lnx-(2t+
    8
    t
    )x+t2-8lnt+8    （x＞0），
    则h′(x)=2x+
    8
    x
    -(2t+
    8
    t
    )=
    2(x-t)(x-
    4
    t
    )
    x
    ．      …（11分）
    （1）当t=
    4
    t
    ，即t=2时，h′(x)=
    2(x-2)2
    x
    ≥0    对一切x∈（0．+∞）成立，
    所以h（x）在（0，+∞）上递增．
    又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时h（x）＜0，当x∈（2，+∞）时h（x）＞0，
    即存在点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
    在该点处切线的两侧．           …（12分）
    （2）当t＞
    4
    t
    ，即t＞2时，x∈(0，
    4
    t
    )    时，h'（x）＞0；x∈(
    4
    t
    ，t)    时，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）时，h'（x）＞0．
    故h（x）在(
    4
    t
    ，t)    上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．
    又h（t）=0，所以当x∈(
    4
    t
    ，t)    时，h（x）＞0；当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，
    即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
    同侧．                           …（13分）
    （3）当t＜
    4
    t
    ，即0＜t＜2时，x∈（0，t）时，h'（x）＞0；x∈(t，
    4
    t
    )    时，h'（x）＜0；x∈(
    4
    t
    ，+∞)    时，h'（x）＞0．
    故h（x）在（0，t）上单调递增，在(t，
    4
    t
    )    上单调递减．
    又h（t）=0，所以当x∈（0，t）时，h（x）＜0；当x∈(t，
    4
    t
    )    时，h（x）＜0，
    即曲线在点A（t，f（t））附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．
    综上，存在唯一点A（2，4+8ln2）使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
    位于曲线在该点处切线的两侧．                    …（14分）
    解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
    （Ⅲ）证明如下：
    由f（x）=x2+8lnx，f′(x)=2x+
    8
    x
    ，可求得曲线y=f（x）在点A处的切
    线方程为y-(t2+8lnt)=(2t+
    8
    t
    )(x-t)    ，
    即y=(2t+
    8
    t
    )x-t2+8lnt-8    （x＞0）．           …（8分）
    记h（x）=x2+8lnx-[(2t+
    8
    t
    )x-t2+8lnt-8]    =x2+8lnx-(2t+
    8
    t
    )x+t2-8lnt+8    （x＞0），
    则h′(x)=2x+
    8
    x
    -(2t+
    8
    t
    )=
    2(x-t)(x-
    4
    t
    )
    x
    ．   …（11分）
    若存在这样的点A（t，f（t）），使得曲线y=f（x）在该点附近的左、右两部分都
    位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，
    由二次函数的性质知，当且仅当t=
    4
    t
    ，即t=2时，t不是极值点，即h'（x）≥0．
    所以h（x）在（0，+∞）上递增．
    又h（t）=0，所以当x∈（0，2）时，h（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h（x）＞0，
    即存在唯一点A（2，4+8ln2），使得曲线在点A附近的左、右两部分分别
    位于曲线在该点处切线的两侧．                …（14分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
    π
    2
    ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
    D、f(x)=2sin(2πx+
    π
    3
    )(x∈R)

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：深圳一模 题型：解答题

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案