Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）若f（x）=0，且x∈[

π

2

， π]，求x；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，由f（x）=0得sin(2x-

π

3

)=-

3

2

，再由x的范围求出2x-

π

3

∈[

2π

3

， 

5π

3

]，根据特殊角的三角函数值求出x；
（Ⅱ）把2x-

π

3

作为一个整体，根据正弦函数的最值，求出函数最值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x-

π

3

)+

3

2

，
由f（x）=0得，sin(2x-

π

3

)+

3

2

=0，
即sin(2x-

π

3

)=-

3

2

，
∵x∈[

π

2

， π]，∴2x-

π

3

∈[

2π

3

， 

5π

3

]，
∴2x-

π

3

=

4π

3

或

5π

3

，解得x=

5π

6

或π；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=sin(2x-

π

3

)+

3

2

，
当sin(2x-

π

3

)=1时，函数取到最大值是：1+

3

2

，
当sin(2x-

π

3

)=-1时，函数取到最小值是：-1+

3

2

．

点评：本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式，特殊角的三角函数值，以及正弦函数的最值应用和整体思想．