Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）设E是CC₁的中点，试求出A₁E与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴四边形ABB₁A₁为平行四边形
∵AB=B₁B，∴平行四边形ABB₁A₁为正方形，∴A₁B⊥AB₁，
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，∴A₁B⊥面AB₁C₁

∴A₁B⊥B₁C₁，又BB₁⊥B₁C₁，∴B₁C₁⊥平面ABB₁A

解法一：（Ⅱ）当点E为C₁C的中点时DE∥AC₁，
∵AC₁平面A₁BD，
∴DE⊥平面A₁BD，
则∠DA₁E即为A₁E与平面A₁BD所成角  

在矩形ACC₁A₁中，由AC₁⊥A₁D
可知△A₁AD≈△ACC₁，则

故AB=BC，不妨设AB=2，则，
故A₁E与平面A₁BD所成角的正弦值为

解法二：在矩形ACC₁A₁中，由AC₁⊥A₁D
可知△A₁AD≈△ACC₁，则，故AB=BC

如图建立空间直角坐标系，不妨设AB=2，则A（2，0，0），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），E（0，2，1），
可得

由题意可知即为平面A₁BD的一个法向量，
故A₁E与平面A₁BD所成角的正弦值为

分析：（Ⅰ）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，我们易得A₁B⊥AB₁，AC₁⊥A₁B，由线面垂直的判定定理可得A₁B⊥面AB₁C₁，进而A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，结合垂直的判定定理可得B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解法一：根据条件易知∠DA₁E即为A₁E与平面A₁BD所成角，从而可求线面角；
解法二：以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，将线面角转化为利用两向量的夹角求解即可．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查线面垂直，考查用空间向量求平面间的夹角，其中（1）的关键是熟练掌握直三棱柱的几何特征及线面垂直的判定定理，（2）转化为两向量的夹角，利用数量积求解．