Question

 如图1，在直角梯形中, ,

   把△沿对角线折起后如图2所示(点记为点), 点在平面上的正投影 落在线段上,  连接.

   (1) 求直线与平面所成的角的大小;

(2) 求二面角的大小的余弦值.

 

 

 

 

 

 

            图1                                             图2

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 (1) 解:在图4中,

      ∵

      ∴,  , .

     ∵,

∴△为等边三角形.                            

∴.             …2分

    在图5中,

    ∵点为点在平面上的正投影,

∴平面.

∵平面,

∴.

∵,                                               

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.

∴为直线与平面所成的角.    …4分

在Rt△中, ,

∴.   

∵,

∴.

∴直线与平面所成的角为.        …6分           

(2) 解:取的中点, 连接,.

∵ ,

∴ .

∵平面,平面,

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.

∵平面,

∴.

∴为二面角的平面角.                                 …8分

在Rt△中,,

∴,.

在Rt△中,.

在Rt△中，.

∴二面角的大小的余弦值为.                               …12分

方法二:

 解:在图4中,

      ∵

      ∴,  , .

     ∵,

∴△为等边三角形.                            

∴.             …2分

在图5中,

 ∵点为点在平面上的射影,                             图4

∴平面.

∵平面,

∴.

∵,                                              

∴.

∵平面, 平面,

∴平面.                          …4分

连接,

在Rt△和Rt△中,,

∴Rt△Rt△.

∴.

∴.

∴.

在Rt△中，.

∴.

在Rt△中，.                             …6分

以点为原点,所在直线为轴,与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空  

间直角坐标系,则,,,,

.

∴,,,.    

(1)∵,

   ∴.

   ∴ 直线与平面所成的角为.                                    …9分           

(2) 设平面的法向量为n,

   由   得

  令, 得,.

  ∴n为平面的一个法向量.                           

  ∵为平面的一个法向量,

  ∴.

  ∵二面角的平面角为锐角,

  ∴二面角的平面角的余弦值为.            …12分