Question

已知a,b为正数，且+=1，求证：对任意一个n∈N^*且n≥2，（a+b）ⁿ-aⁿ-bⁿ≥2²ⁿ-2ⁿ⁺¹.

Answer 1

思路分析：由+=1得a+b=ab,?

又(a+b)(+)=2++≥4,?

故ab=a+b≥4.?

而(a+b)ⁿ=C⁰_naⁿ+C¹_na^n-1b+…+C^r_na^n-rb^r+…+Cⁿ_nbⁿ.?

令f(n)=(a+b)ⁿ-aⁿ-bⁿ,则

f(n)=C¹_na^n-1b+C²_na^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+…+C^n-1_nab^n-1.?

因为Cⁱ_n=C^n-i_n,倒序相加，于是2f(n)=C¹_n(a^n-1b+ab^n-1)+…+C^r_n(a^n-rb^r+a^rb^n-r)+…+C^n-1_n(ab^n-1+a^n-1b).

而^n-1b+ab^n-1≥2≥2ⁿ⁺¹,…,a^n-rb^r+a^rb^n-r≥2≥2ⁿ⁺¹,…,ab^n-1+a^n-1b≥2≥2×4=2ⁿ⁺¹,则2f(n)=(C¹_n+Cⁿ₂+…+C^r_n+…+C^n-1_n)(a^rb^n-r+a^n-rb^r)=(2ⁿ-2)(a^rb^n-r+a^n-rb^r)≥(2ⁿ-2)·2ⁿ⁺¹.

∴f(n)≥(2ⁿ-2)·2ⁿ.

∴结论成立.

温馨提示

应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式≤,若放成＜k+1,则得S_n＜,就放过“度”了!