Question

（2013•深圳一模）在平面直角坐标系xOy 中，M(sin2θ，1)，N(1，-2cos2θ)(θ∈R)，且

OM

•

ON

=-

3

2

．
（1）求点 M，N的坐标；
（2）若角α，β的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点 M，N，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积，求出θ的正弦函数与余弦函数值，即可求点 M，N的坐标；
（2）角α，β的顶点都为坐标原点且始边都与x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点 M，N，利用任意角的三角函数的定义，求出α、β的正切函数值，利用两角和的正切函数直接求tan（α+β）的值．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）∵

OM

•

ON

=-

3

2

，∴sin2θ-2cos2θ=-

3

2

，…．（2分）
∴sin2θ-2(1-sin2θ)=-

3

2

，
解得sin2θ=

1

6

，cos2θ=

5

6

所以M(

1

6

，1)，N(1，-

5

3

)…．（6分）
（2）由（1）可知M(

1

6

，1)，N(1，-

5

3

)
∴tanα=6，tanβ=-

5

3

…．（10分）
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

6- 5 3

1-6×(- 5 3 )

=

13

33

…．（12分）

点评：本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式，以及向量的有关知识．考查了运算能力．