Question

设函数f(x)=(1+x)²-2ln(1+x).?

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若当x∈［-1,e-1］时(其中e=2.718…),不等式f(x)＜m恒成立,求实数m的取值范围；

(3)若关于x的方程f(x)=x²+x+a在区间［0,2］上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.

Answer 1

解:(1)函数的定义域为(-1，+∞)，?

∵f′(x)=2［(x+1)-］=，?

由f′(x)＞0得x＞0,由f′(x)＜0,-1＜x＜0,?

则递增区间是(0，+∞)；递减区间是(-1,0).                                                               ?

(2)由f′(x)==0,得x=0.?

由(1)知f(x)在［-1,0］上递减，在［0，e-1］上递增.?

又f(-1)= +2,f(e-1)=e²-2,且e²-2＞+2,?

所以x∈［-1,e-1］时，f(x)的最大值为e²-2.?

故M＞e²-2时，不等式f(x)＜M恒成立.                                                                   ?

(3)方程f(x)=x²+x+a,x-a+1-2ln(1+x)=0.?

记g(x)=x-a+1-2ln(1+x),则因g′(x)=1-=,?

由g′(x)＞0，得x＞1，由g′＜0,得-1＜x＜1.?

所以g(x)在［0，1］上递减，在［1，2］上递增.?

为使方程f(x)=x²+x+a在［0，2］上恰好有两个相异的实根，?

只需g(x)=0在［0，1)和(1，2］上各有一个实根，?

于是有∵2-2ln2＜3-2ln3，解得2-2ln2＜a≤3-2ln3.