Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
（1）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（2）当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明．

Answer 1

解：（1）作FG∥BC交CD于G，连接EG，
则  ， ，
∴ ，
∴PC∥EG．
又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G，
∴平面PBC∥平面EFG．又EF平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC． 
证明如下：∵λ=1，则F为AB的中点，
又AB= AD，AF= ，
∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD中， ，
∴∠AFD=∠CAD，
∴AC⊥DF，
又PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．