Question

已知抛物线C：x²=4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M．

Answer 1

（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）²-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
设圆心P的坐标为（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故过M，A，B三点的圆的方程为x²+（y-1）²=4；    
（Ⅱ）证明：设M（x₀，-1），由已知得y=

x2

4

，y′=

1

2

x，
设切点分别为A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
∴k_MA=

x1

2

，k_MB=

x2

2

，
切线MA的方程为y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，
切线MB的方程为y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂），即y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，
又因为切线MA过点M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₁-

1

4

x₁²，①
又因为切线MB也过点M（x₀，-1），
所以得-1=

1

2

x₀x₂-

1

4

x₂²，②
所以x₁，x₂是方程-1=

1

2

x₀x-

1

4

x²的两实根，
由韦达定理得x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4，
因为

MA

=（x₁-x₀，

x12

4

+1），

MB

=（x₂-x₀，

x22

4

+1），
所以

MA

•

MB

=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（

x12

4

+1）（

x22

4

+1）
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

（x₁²+x₂²）+1
=x₁x₂-x₀（x₁+x₂）+x₀²+

x12x22

16

+

1

4

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1，
将x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-4代入，得

MA

•

MB

=0，
则以AB为直径的圆恒过点M．