Question

设g(x)=3-log2x，f(x)=

2g(x)-1+x-3，x＞g(x) 24-g(x)-x2，x≤g(x)

，则f（x）的值域是

（0，+∞）

．

Answer 1

分析：把g（x）代入f（x）根据分段函数，分段求出f（x）各自的值域，从而进行求解；

解答：解：因为g(x)=3-log2x，f(x)=

2g(x)-1+x-3，x＞g(x) 24-g(x)-x2，x≤g(x)

，（x＞0）
若x＞g（x）=3-log₂x，解得x＞2，
f（x）=22-log23+x-3=

4

2log2x

+x-3=

4

x

+x-3
因为x＞2，所以f（x）＞2

4

-3=1，
若x≤g（x），即0＜x≤2，
f（x）=2^4-g（x）-x²=2x-x²=-（x-1）²+1
f（x）在1＜x＜2上为减函数，f（x）在0＜x≤1上为增函数，
所以0=f（0）＜f（x）≤f（1）=1，
综上f（x）的值域为f（x）＞0，
所以f（x）的值域是（0，+∞）；

点评：此题主要考查分段函数的性质及其应用，求分段函数的定义域，需要进行分类讨论，此题计算比较复杂，是一道基础题；