Question

某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．

(Ⅰ)根据三视图，画出该几何体的直观图；

(Ⅱ)在直观图中，①证明：PD//面AGC；

②证明：面PBD⊥AGC

③求面PAB与面PBC的夹角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)该几何体的直观图如图所示．　　　　3分 　　(2)①证明：连结AC，BD交于点O，连结OG，因为G为PB的中点， 　　O为BD的中点，所以OG//PD又OG面AGC，PD面AGC， 　　所以PD//面AGC　　　　　　文8分，理6分 　　②连结PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．又AO⊥BO， 　　所以AO⊥面PBD因为AO面AGC，所以面PBD⊥面AGC…文12分，理9分 　　(理)③建立如图所示坐标系，由三视图知，PO＝，AB＝2，AC＝2，AO＝， 　　∴P(0，0，)，B(0，，0)，A(，0，0)， 　　C(－，0，0)， 　　 　　设面PBA的法向量为n＝(x，y，z) 　　∴ 　　令x＝1得y＝1，z＝1． 　　∴n＝(1，1，1) 　　设面PBC的法向量为) 　　∴ 　　令 　　∴m＝(1，－1，－1)． 　　设面PAB与PBC的夹角为θ， 　　则 　　所以面PAB与PBC的夹角为余弦值为　　　　　　理12分