Question

如图，已知棱锥S－ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB＝AS＝a，M、N分别为AB、SC的中点．

(1)求四棱锥S－ABCD的表面积；

(2)求证：MN∥平面SAD.

Answer 1

解析]　(1)∵SA⊥底面ABCD，

∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，

又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，

∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，

∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，

又∵SB＝a，

∴S表面积＝2S△SAB＋2S△SBC＋SABCD

＝(2＋)a2.

(2)解法一：取SD中点P，连结MN、NP、PA，如图．

则NP＝CD，且NP∥CD，

又∵AM＝CD，且AM∥CD，

∴NP＝AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形，

∴MN∥AP.∵AP⊂平面SAD，MN⊄平面SAD.

∴MN∥平面SAD.

解法二：取CD中点Q，连结MQ，NQ，

∵M、N是AB、SC的中点，如图所示．

∴NQ∥SD，MQ∥AD，

∴NQ∥平面SAD，MQ∥平面SAD.

又MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面SAD，

∴MN∥平面SAD.