Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且a₁=1,S_n=n²a_n(n∈N^*).

(1)试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；

(2)证明你的猜想，并求出a_n的表达式.

Answer 1

解析:(1)S₁=1，S₂=，S₃==,S₄=，猜想S_n=.?

(2)①当n=1时，S₁=1成立.?

②假设n=k时成立，S_k=，?

当n=k+1时，S_k+1=(k+1)²·a_k+1=a_k+1+S_k，?

∴a_k+1=.?

∴S_k+1=(k+1)²·a_k+1=.?

∴n=k+1时也成立，得证.?

∴对于n∈N^*，等式均成立.?

又∵a_k+1=,?

∴a_n=.