Question

  如图所示，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁，B₁C₁的中点.问：

（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；

（2）D₁B和CC₁是否是异面直线？说明理由.

Answer 1

（1）不是异面直线（2）D₁B与CC₁是异面直线

解析:

  （1）不是异面直线.理由如下：

∵M、N分别是A₁B₁、B₁C₁的中点.

∴MN∥A₁C₁，

又∵A₁A   D₁D，而D₁D  C₁C，∴A₁A    C₁C，∴四边形A₁ACC₁为平行四边形.

∴A₁C₁∥AC，得到MN∥AC，

∴A、M、N、C在同一个平面内，

故AM和CN不是异面直线.

（2）是异面直线，证明如下：

假设D₁B与CC₁在同一个平面D₁CC₁内，

则B∈平面CC₁D₁，C∈平面CC₁D₁.

∴BC平面CC₁D₁，

这与正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中BC⊥面CC₁D₁相矛盾.

∴假设不成立，故D₁B与CC₁是异面直线.