Question

已知n是正整数，函数F(x)=(1+x)²ⁿ的展开式的含x^k的项的系数为a_k(k=0,1,2,…,2n).

（1）求证:a_n=()²+()²+…+()²+()²;

（2）求和：a₁+2a₃+5a₅+…+(2k-1)a_2k-1+…+(2n-1)a_2n-1.

Answer 1

(1)证明：∵f(x)=(1+x)²ⁿ=(1+x)ⁿ·(1+x)ⁿ??

=(+x+…+x^k+…+xⁿ)·(+x+…+x^k+…+xⁿ),?

由题意知a_n是(1+x)²ⁿ展开式的含xⁿ的项的系数，也即(+x+…+x^k+…+xⁿ)·(+x+…+x^k+…+xⁿ)展开式的含xⁿ的项的系数，(+x+…+x^k+…+xⁿ)·(+x+…+x^k+…+xⁿ)的展开式的含xⁿ的项的系数为++…++…+.?

根据组合数的性质=C^n-k_n,得

++…++…+?

=()²+()²+…+()²+()²,?

从而a_n=()²+()²+…+()²+()²得证.                                                             ?

(2)解:∵f(x)=(1+x)²ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_kx^k+…+a_2nx²ⁿ,??

∴f′(x)=2n(1+x)^2n-1=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+ka_kx^k-1+…+2na_2nx^2n-1.?

令x=1,得?

a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+ka_k+…+(2n-1)a_2n-1+2na_2n=f′(-1)=2n·2^2n-1=n·4ⁿ.?

令x=-1,得?

a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…+(-1)^k-1ka_k+…+(2n-1)a_2n-1-2na_2n=f′(-1)=0.?

把上述两式左右两边分别相加得?

a₁+3a₃+…+(2k-1)a_2k-1+…+(2n-1)a_2n-1=n·2^2n-1.