Question

已知函数f（x）=

1

3

ax3+bx2-ax+20（a≠0）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值2，求a，b的值；
（Ⅱ）当2b=1-a²时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数f（x）在x=3处取得极值2，得到两个条件f（3）=2，f'（3）=0，利用两个条件解a，b的值
（Ⅱ）由2b=1-a²，代入进行消元，然后求导，讨论a的取值范围，利用导数研究函数的单调性．

解答：解：f'（x）=ax²+2bx-a．
（Ⅰ）因f（x）在x=3处有极值2，所以有

f′(3)=0 f(3)=2

，即

9a+6b-a=0 9a+9b-3a+20=2

，
解得

a=3 b=-4

，经检验a=3，b=-4符合题意．
所以，当f（x）在x=3处有极值2时，a=3，b=-4．
（Ⅱ）因2b=1-a²，所以f'（x）=ax²+（1-a²）x-a=（x-a）（ax+1）
令f'（x）=0，得x=a，x=-

1

a

．
①当a＞0时，由-

1

a

＜a，由f'（x）＞0，解得函数在(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），函数递增；
由f'（x）＜0，解得(-

1

a

，a)，函数递减．
所以f（x）的增区间为(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），减区间为(-

1

a

，a)．
②当a＜0时，得-

1

a

＞a．由f'（x）＜0，解得（-∞，a），(-

1

a

，+∞)，此时函数递减．
由f'（x）＞0，解得在(a，-

1

a

)单调递增．
所以f（x）得增区间为(a，-

1

a

)，减区间为（-∞，a），(-

1

a

，+∞)．
综上所述，当a＞0时，f（x）得增区间为(-∞，-

1

a

)，（a，+∞），减区间为(-

1

a

，a)；
当a＜0时，f（x）得增区间为(a，-

1

a

)，减区间为（-∞，a），(-

1

a

，+∞)．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性问题．对应含有参数的导数，要对参数进行分类讨论．