Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是CD的中点．
(1)求证：A₁C∥平面AD₁E；
(2)在对角线A₁C上是否存在点P，使得DP⊥平面AD₁E？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)证明：如图，连接A1D交AD1于点F，连接EF， 因为四边形ADD1A1是正方形，所以F是A1D的中点， 又E是CD的中点，所以EF∥A1C， 因为EF平面AD1E，A1C平面AD1E， 所以A1C∥平面AD1E． (2)解：在对角线A1C上存在点P，且当时，DP⊥平面AD1E。 证明如下：因为四边形ADD1A1是正方形，所以AD1⊥A1D， 因为CD⊥平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，所以CD⊥AD1， 又因为A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1CD， 因为AD1平面AD1E， 所以平面AD1E⊥平面A1CD， 作DP⊥A1C于P，因为EF∥A1C，所以DP⊥EF， 因为DP平面A1CD，平面A1CD∩平面AD1E=EF， 所以DP⊥平面AD1E， 由Rt△A1CD∽Rt△DCP，得， 所以当时，DP⊥平面AD1E。