Question

已知函数f(x)=

1

2

x

2

-lnx，g(x)=lnx-x．
（1）求f（x）在（1，

1

2

）处的切线方程；
（2）若h（x）=f（x）+ag（x），a＞1．
①讨论函数h（x）的单调性；
②若对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）求导，再计算f^′（1），即为切线的斜率，进而得出切线的方程；
（2）①先在函数h（x）的定义域内对h（x）求导，根据h^′（x）=0的根的大小关系，再对a分类讨论即可得出函数的单调性；
②不妨设x₁＜x₂，则问题“对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有

h(x1-h(x2))

x1-x2

＞-1，”?M（x）=h（x）+x在（0，+∞）上单调递增?M^′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立．

解答：解：（1）∵f′(x)=x-

1

x

，∴f^′（1）=0．
∴f（x）在（1，

1

2

）处的切线方程为：y=

1

2

；
（2）①∵h（x）=f（x）+ag（x）=

1

2

x2-lnx+alnx-ax，（x＞0），a＞1．
∴h′(x)=x-a+

a-1

x

=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
1° 当a-1=1，即a=2时，h′(x)=

(x-1)2

x

≥0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
2°当a-1＜1时，又a＞1，即1＜a＜2时，
∵函数h（x）在区间（a-1，1）上，h^′（x）＜0；在区间（0，a-1）及（1，+∞）上，h^′（x）＞0．
∴函数h（x）在区间（a-1，1）上单调递减；在区间（0，a-1）及（1，+∞）上单调递增．
3°当a-1＞1，即 a＞2时，同理可得h（x）在区间（1，a-1）上单调递减；在区间（0，1）及（a-1，+∞）上单调递增．
②不妨设0＜x₁＜x₂，则

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．
令M（x）=h（x）+x=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx+x，
则M（x）在（0，+∞）上单调递增，
于是M′(x)=x-a+1+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+(a-1)

x

≥0在（0，+∞）上恒成立．
即R（x）=x²-（a-1）x+（a-1）≥0在（0，+∞）上恒成立．
∵a＞1，∴R（0）=a-1＞0，对称轴

a-1

2

＞0．
因此必须要求△=（a-1）²-4（a-1）≤0，又a＞1，解得1＜a≤5．

点评：充分利用导数的几何意义及解决函数的单调性和正确的进行转化是解题的关键．