Question

（2010•台州二模）已知函数f（x）=ax³+bx²-9x在x=3处取得极大值0．
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′（x）=3ax²+2bx-9，知

f′(3)=27a+6b-9=0 f(3)=27a+9b-27=0

⇒

a=-1 b=6

，由此能求出f_max（x）．
（Ⅱ）设过P点的切线切曲线于点（x₀，y₀），则切线的斜率k=-3x₀²+12x₀-9，所以切线方程为y=（-3x₀²+12x₀-9）（x+1）+mw，故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀．由此能求出满足条件的m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+2bx-9，
且在x=3处取得极大值0．
∴

f′(3)=27a+6b-9=0 f(3)=27a+9b-27=0

⇒

a=-1 b=6

∴f′（x）=-3x²+12x-9=-3（x-1）（x-3）
当x∈[0，1]时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[0，1]上单调递减．
∴f_max（x）=f（0）=0．…（6分）
（Ⅱ）设过P点的切线切曲线于点（x₀，y₀），则切线的斜率k=-3x₀²+12x₀-9
所以切线方程为y=（-3x₀²+12x₀-9）（x+1）+mw
故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀…（9分）
要使过P可作曲线y=f（x）的切线有三条，
则方程（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀有三解∴m=2x_°³-3x_°²-12x_°+9，令g（x）=2x³-3x²-12x+9
则g′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2）…（12分）
易知x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，又g（x）_极小=-11，g（x）_极大=16，
故满足条件的m的取值范围-11＜m＜16．…（15分）

点评：本题考查f（x）在区间[0，1]上的最大值和求实数m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．