Question

19. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上.

（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；

（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；

（Ⅲ）若动圆P过点N（-2，0），且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3.

又因为点T（-1，1）在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y-1= -3（x+1），

即3x+y+2=0.

（Ⅱ）由解得点A的坐标为（0，-2）.

因为矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0），

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.

又|AM|==2，

从而矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）²+y²=8.

（Ⅲ）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，

所以| PM |=| PN |+2，

即| PM | - | PN |=2.

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的左支.

因为实半轴长a=，半焦距c=2，

所以虚半轴长b==.

从而动圆P的圆心的轨迹方程为=1（x≤ -）.