Question

如图，四边形ABCD是圆台OO₁的轴截面，AB=2CD=4，点M在底面圆周上，且，DM⊥AC．
（I）求圆台OO₁的体积；
（II）求二面角A-DM-O的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，可得OO₁、OM、OB两两互相垂直，故可以O为原点，分别以直线OM、OB、OO₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出圆台的高OO₁=h值后，代入圆台OO₁的体积公式即可得到答案．
（II）分别求出平面ADM、平面ODM的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-DM-O的余弦值．
解答：解：（I）由题意可得OO₁、OM、OB两两互相垂直，
以O为原点，分别以直线OM、OB、OO₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系-----（2分）
设OO₁=h（h＞0），则D（0，-1，h），M（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，1，h）∴，w∵DM⊥AC∴
解得------（6分）∴圆台OO₁的体积．------（7分）
（II），，
设平面ADM、平面ODM的法向量分别为，
则且 
即且 
取------（11分）∴．------（13分）
则二面角A-DM-O的余弦值为------（14分）
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，圆台的体积，其中（I）的关键是求出圆台的高，熟练掌握圆台的体积公式，（II）的关键是求出两个平面的法向量．