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    当整数n≥0时，证明多项式xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除．

     

    答案：
    解析：

    证明：(1)当n=0时，xn+2+(x+1)2n+1=x2+x+1能被x2+x+1整除．

    　　(2)假设n=k(k≥0，k∈Z)时命题成立，就是xk+2+(x+1)2k+1能被多项式x2+x+1整除，那么n=k+1时

    　　x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1

    　　=x·xk+2+(x+1)2·(x+1)2k+1-xk+2·(x+1)2+xk+2(x+1)2

    　　=(x+1)2[xk+2+(x+1)2k+1]-xk+2(x2+x+1)

    　　∵　xk+2+(x+1)2k+1，x2+x+1都能被x2+x+1整除

    　　∴　n=k+1时命题成立

    综合(1)，(2)，n≥0，n∈Z时命题成立．

     


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
    （1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
    （2）数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
    1
    f(-2-an)
    (n∈N+)    ，
    ①求通项公式an的表达式；
    ②令bn=(
    1
    2
    )an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
    1
    a1a2
    +
    1
    a2a3
    +…+
    1
    anan+1
    ，试比较Sn与
    4
    3
    Tn    的大小，并加以证明；
    ③当a＞1时，不等式
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +…+
    1
    a2n
    ＞
    12
    35
    (log a+1x-log ax+1)    对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：阅读理解

    请先阅读：
    设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
    在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
    得（f（-x））′=（-f（x））′，
    由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
    化简得等式f′（-x）=f′（x）．
    （Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=
    C
    0
    n
    +
    C
    1
    n
    x+
    C
    2
    n
    x2+…+
    C
    n
    n
    xn    （x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2
    C
    2
    n
    x+3
    C
    3
    n
    x2+4
    C
    4
    n
    x3+…+n
    C
    n
    n
    xn-1    ；
    （Ⅱ）当整数n≥3时，求
    C
    1
    n
    -2
    C
    2
    n
    +3
    C
    3
    n
    -…+(-1)n-1n
    C
    n
    n
    的值；
    （Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2
    C
    2
    n
    -3•2
    C
    3
    n
    +4•3
    C
    4
    n
    +…+(-1)n-2n(n-1)
    C
    n
    n
    =0    ．

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    科目：高中数学 来源：数学教研室 题型：044

    当整数n≥0时，证明多项式xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除．

     

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    请先阅读：
    设可导函数 f（x） 满足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
    在等式f（-x）=-f（x） 的两边对x求导，
    得（f（-x））′=（-f（x））′，
    由求导法则，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
    化简得等式f′（-x）=f′（x）．
    （Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），结合等式(1+x)n=
    C0n
    +
    C1n
    x+
    C2n
    x2+…+
    Cnn
    xn    （x∈R，整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=2
    C2n
    x+3
    C3n
    x2+4
    C4n
    x3+…+n
    Cnn
    xn-1    ；
    （Ⅱ）当整数n≥3时，求
    C1n
    -2
    C2n
    +3
    C3n
    -…+(-1)n-1n
    Cnn
    的值；
    （Ⅲ）当整数n≥3时，证明：2
    C2n
    -3•2
    C3n
    +4•3
    C4n
    +…+(-1)n-2n(n-1)
    Cnn
    =0    ．

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