Question

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，

对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

（1）求四棱锥的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.

Answer 1

（1）四棱锥P—ABCD的体积V_P—ABCD=×2×=2.   

（2）异面直线DE与PA所成角的余弦值为

解析:

（1）在四棱锥P—ABCD中，

∵PO⊥平面ABCD，

∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，

即∠PBO=60°，                                                                        2分

在Rt△POB中，

∵BO=AB·sin30°=1，

又PO⊥OB，∴PO=BO·tan60°=,

∵底面菱形的面积S=2××2×2×=2.

∴四棱锥P—ABCD的体积

V_P—ABCD=×2×=2.                                                         8分

（2）取AB的中点F，连接EF，DF，

∵E为PB中点，∴EF∥PA，

∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.                         10分

在Rt△AOB中，

AO=AB·cos30°==OP，

∴在Rt△POA中，PA=6，∴EF=.                                                12分

在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，

由余弦定理得

∴cos∠DEF=                                                   14分

===.

所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.                                  16分