Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
(Ⅰ)求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
(Ⅱ)求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角D-A₁C₁-A的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1， 又CC1面ABB1A1，所以CC1∥平面ABB1A1， ABCD是正方形，所以CD∥AB， 又CD面ABB1A1，所以CD∥平面ABB1A1， 所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1， 所以，C1D∥半面ABB1A1。
(Ⅱ)解：ABCD是正方形，AD⊥CD， 因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD， 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz， 在△ADA1中，由已知可得A1D=， 所以，D(0，0，0)， A1(0，0，)，A(1，0，0)，C1（-1，1，）， B1(0，1，)，D(-1，0，)，B(1，1，0)，， 因为A1D⊥平面ABCD， 所以，A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1， 又B1D1⊥A1C1， 所以，B1D1⊥平面A1C1D， 所以平面A1C1D的一个法向量为n=(1，1，0)， 设与n所成的角为β， 则， 所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为。 (Ⅲ)解：设平面A1C1A的法向量为m=（a，b，c）， 则， 所以，， 令，可得， 设二面角D-A1C1-A的大小为α， 则， 所以，二面角D-A1C1-A的余弦值为。