Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,a₁=2,na_n+1=S_n+n(n+1).

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n=，如果对一切正整数n都有b_n≤t,求t的最小值.

Answer 1

解：(1)∵na_n+1=S_n+n(n+1),

∴(n-1)a_n=S_n-1+n(n-1)(n≥2).

∴na_n+1-(n-1)a_n=S_n+n(n+1)-S_n-1-n(n-1)(n≥2).

∵S_n-S_n-1=a_n,

∴a_n+1-a_n=2(n≥2).

    又当n=1时，a₂=S₁+2,即a₂-a₁=2.

    对于正整数n都有a_n+1-a_n=2,

∴数列{a_n}是等差数列，a₁=2,公差d=2.

∴a_n=a₁+(n-1)d=2n.

(2)∵a_n=2n,na_n+1=S_n+n(n+1),

∴S_n=na_n+1-n(n+1)=2n(n+1)-n(n+1)=n(n+1).

∴b_n==.

∴b_n+1-b_n=-

=.

∴b₂=b₃,当n≥3时，b_n+1＜b_n.

    又b₁=1,b₂=b₃=,

∴b₁,b₂,b₃,…,b_n,…的最大值是b₂=b₃=.

    对于一切正整数n都有b_n≤t,∴≤t.

∴t的最小值是.