Question

已知函数f(x)=ln(x+a)-x(a＞0).

(1)求f′(x);

(2)求f(x)在［0,2］上最小值.

Answer 1

解:（1）由f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)求导数，

得f′(x)=-1=.

(2)∵0≤x≤2,又a＞0,则x+a＞0恒成立.

①在a≥1时，f′(x)=-1≤0在0≤x≤2上恒成立.

∴f(x)在［0,2］上单调递减，∴f(x)的最小值f(2)=ln(a+2)-2.

②在0＜a＜1时，f′(x)=,x=1-a是一个稳定点.

X	［0，1-a］	1-a	(1-a,2]
f′(x)	+	0	-
f(x)	?	极大	?

最小值产生于f(0)或f(2).

f(0)-f(2)=ln a-［ln(2+a)-2］

=lne²a-ln(2+a)

在＜a＜1时，f(0)＞f(2)，f(x)最小值为f(2)=ln(2+a)-2;

在0＜a≤时，f(0)≤f(2),f(x)最小值为f(0)=ln a.

综上讨论可知：函数f(x)在a＞时，取得最小值为ln(2+a)-2;在0＜a≤时，取得最小值为ln a.