Question

（2013•西城区一模）已知函数f（x）=sinx-acosx的一个零点是

π

4

．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)•f(-x)+2

3

sinxcosx，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意根据函数的零点的定义可得f(

π

4

)=0，由此求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx，利用三角函数的恒等变换化简函数g（x）的解析式为 2sin(2x+

π

6

)，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得x的范围，即可求得 g（x）的单调递增区间．

解答：（Ⅰ）解：依题意，得f(

π

4

)=0，即 sin

π

4

-acos

π

4

=

2

2

-

2 a

2

=0，解得 a=1．                                                
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f（x）=sinx-cosx．
故 g(x)=f(x)•f(-x)+2

3

sinxcosx=(sinx-cosx)(-sinx-cosx)+

3

sin2x 
=(cos2x-sin2x)+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)．
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
所以，g（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调区间的求法，属于中档题．