Question

已知三棱柱A₁B₁C₁—ABC的底面边长及侧棱长均相等,AB⊥CB₁,且侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC.

(1)求证:平面ABC₁⊥平面CBB₁C₁;

(2)求侧棱B₁B与底面ABC所成角的大小.

Answer 1

剖析:(1)利用面面垂直的判定定理,关键是在一个平面内找另一个平面的垂线(这条直线是CB₁);(2)利用面面垂直的性质定理,作出侧棱B₁B与底面ABC所成的角.

(1)证明:∵BB₁C₁C是菱形,∴CB₁⊥C₁B.

    又∵AB⊥CB₁,AB∩C₁B=B,

    ∴CB₁⊥平面ABC₁.

    而CB₁平面CBB₁C₁,

    ∴平面ABC₁⊥平面CBB₁C₁.

(2)解:作B₁D⊥AB于D,连结CD.

    ∵侧面ABB₁A₁⊥底面ABC,而平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB,

    ∴B₁D⊥面ABC.

    ∴∠B₁BD就是侧棱B₁B与底面ABC所成的角.

    又∵CB₁⊥AB,∴其射影CD⊥AB.

    而△ABC是正三角形,∴BD=AB=B₁B.

    ∴∠B₁BD=60°,即侧棱B₁B与底面ABC所成的角为60°.