Question

在锐角△ABC中，cos B+cos （A-C）=

3

sin C．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 当BC=2时，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由cos B+cos （A-C）=

3

sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A
（Ⅱ） 由题 a=2，结合余弦定理4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc，利用基本不等式可求bc的范围，进而可求三角形面积的最大值

解答：（Ⅰ） 解：因为cos B+cos （A-C）=

3

sin C，所以-cos （A+C）+cos （A-C）=

3

sin C，得
2sin A sin C=

3

sinC，故sin A=

3

2

．
因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．
（Ⅱ） 解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由题意知 a=2，由余弦定理得
4=b²+c²-2bccos60°=b²+c²-bc≥bc，所以△ABC面积=

1

2

bcsin60°≤

3

，
且当△ABC为等边三角形时取等号，所以△ABC面积的最大值为

3

．

点评：本题主要考查了两角和与差的三角函数及余弦定理、基本不等式及三角形的面积公式的综合应用