Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=x₀处取得极小值-4，使其导数f′（x）＞0的x的取值范围（1，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若过点A（-1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c，依题意有a＞0，且1，3分别为f（x）的极值小，极大值点，
∴解得a=-1，b=6，c=-9，
所以f（x）=-x³+6x²-9x；
（2）设过A点切线的切点坐标为（x₀，y₀），则切线的斜率k=-3x₀²+12x₀-9
切线方程为y=（-3x₀²+12x₀-9）（x+1）+m，
故y₀=（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀
要使过P可作曲线y=f（x）三条切线，则方程关于（-3x₀²+12x₀-9）（x₀+1）+m=-x₀³+6x₀²-9x₀有三解．
m=2x₀³-3x₀²-12x₀+9，令g（x）=2x³-3x²-12x+9，
g′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2）=0，易知x=-1，2为g（x）的极值大、极小值点，
故g（x）_极小值=-11，g（x）_极大值=16，
故满足条件的m的取值范围：-11＜m＜16
分析：（1）导数f′（x）＞0的x的取值范围（1，3）得到1和3分别为函数的极小值和极大值点即f′（1）=0且f′（3）=0，且
有f（1）=-4，三者联立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式；
（2）设过A作的切线的切点坐标为（x₀，y₀），则切线的斜率k=f′（x₀），根据A的坐标和切线的斜率写出切线方程，要使过P可作曲线的三条切线，即把切点坐标代入切线方程中化简可得m=2x₀³-3x₀²-12x₀+9方程有三个解，设g（x）=2x³-3x²-12x+9，求出g′（x）=0时x的值，利用导函数的正负得到函数的单调区间，利用函数的增减性得到g（x）的最大值和最小值，即可得到m的取值范围．
点评：本题考查学生掌握函数取极值时所满足的条件，会利用导函数的正负得到函数的单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的最值，利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．