Question

（2013•浙江模拟）已知函数f （x）=x³-3ax+1，a∈R．
（Ⅰ） 求f （x）的单调区间；
（Ⅱ） 求所有的实数a，使得不等式-1≤f （x）≤1对x∈[0，

3

]恒成立．

Answer 1

分析：（I）根据函数解析式，求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，分别分析导函数的符号，进而可得不同情况下f （x）的单调区间；
（Ⅱ） 根据（I）中的结论，分a≤0，0＜a＜3和a≥3三种情况分析不等式-1≤f （x）≤1对x∈[0，

3

]是否恒成立，综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（I）∵f （x）=x³-3ax+1，
∴f′（x）=3x²-3a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜-

a

或x＞

a

故f （x）的单调增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞），f （x）的单调减区间为（-

a

，

a

）
（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，

3

]递增，且f（0）=1，此时无解；
当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，-

a

）上递减，在（

a

，

3

]递增，
∴f （x）在[0，

3

]的最小值为f（

a

）=1-2a

a

∴

f( a )≥1 f( 3 )≤1 f(0)≤1

，即

a a ≤1 a≥1

解得：a=1
当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，

3

]上递减，且f（0）=1，
∴f(

3

)=3

3

-3

3

a+1≥-1
解得：a≤1+

2 3

9

此时无解
综上a=1

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力