Question

已知函数f （x）=a^x+2-1（a＞0，且a≠1）的反函数为f^-1（x）．
（1）求f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；
（3）设函数g（x）=，求不等式g（x）≤f^-1（x）对任意的a∈[，]恒成立的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）令y=f （x）=a^x+2-1，于是y+1=a^x+2，
∴x+2=log_a（y+1），即x=log_a（y+1）-2，
∴f^-1（x）=log_a（x+1）-2（x＞-1）．…（3分）
（2）当0＜a＜1时，f^-1（x）_max=loga（0+1）-2=-2，f^-1（x）_min=log_a（1+1）-2=log_a2-2，
∴-2-（log_a2-2）=2，解得a=或a=-（舍）．…（5分）
当a＞1时，f^-1（x）_max=log_a2-2，f^-1（x）_min=-2，
∴（log_a2-2）-（-2）=2，解得a=或a=-（舍）．
∴综上所述，a=或a=．…（7分）
（3）由已知有≤log_a（x+1）-2，即≤对任意的a∈[，]恒成立…（8分）
∵a∈[，]，
∴≤①…（10分）
由＞0且＞0知x+1＞0且x-1＞0，即x＞1，于是①式可变形为x²-1≤a³，
即等价于不等式x²≤a³+1对任意的a∈[，]恒成立．…（12分）
∵u=a³+1在a∈[，]上是增函数，
∴≤a³+1≤，于是x²≤，
解得-≤x≤．结合x＞1得1＜x≤．
∴满足条件的x的取值范围为（1，]．…（14分）
分析：（1）由y=f （x）=a^x+2-1，求得x=log_a（y+1）-2，即可得f^-1（x）；
（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；
（3）由题意可得≤，a∈[，]，转化为不等式x²≤a³+1对任意的a∈[，]恒成立，从而可求得x的取值范围．
点评：本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．