Question

已知函数f（x）=（ax²﹣2x+1）·e^﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．
（I） 当时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ） 若函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

解：（ I）当a=1时，f（x）=（x²﹣2x+1）●e^﹣x，
f'（x）=（2x﹣2）●e^﹣x﹣（x²﹣2x+1）●e^﹣x=﹣（x﹣1）（x﹣3）●e^﹣x
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

（ II）f'（x）=（2ax﹣2）●e^﹣x﹣（ax²﹣2x+1）●e^﹣x=﹣e^﹣x[ax²﹣2ax﹣2x+3]
令g（x）=ax²﹣2（a+1）x+3
①若a=0，则g（x）=﹣2x+3，在（﹣1，1）内，g（x）＞0，
即f'（x）＜0，函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减．
②若a＞0，则g（x）=ax²﹣2（a+1）x+3，其图象是开口向上的抛物线，
对称轴为，
当且仅当g（1）≥0，即0＜a≤1时，在（﹣1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减．
③若a＜0，则g（x）=ax²﹣2（a+1）x+3，其图象是开口向下的抛物线，
当且仅当，即时，在（﹣1，1）内g（x）＞0，f'（x）＜0，
函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减．
综上所述，函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减时，a的取值范围是．