Question

已知函数f(x)=

1

(1+x)n

+aln(x+1)，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=2时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，若b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，求证：f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．

Answer 1

分析：（I）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，最后求出极值；
（II）欲证f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．先利用导数证当x≥0时，f（x）≤x+1，再结合b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，即得．

解答：解：（Ⅰ）由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞-1}，
当n=2时，f(x)=

1

(1+x)2

+aln(x+1)，
所以f′(x)=

a(1+x)2-2

(1+x)3

.
（1）当a＞0时，由f′（x）=0得x1=-1+

2 a

＞-1，x2=-1-

2 a

＜-1，
此时f′（x）=

a(x-x1)(x-x2)

(x+1)3

．
当x∈（1，x₁）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x₁+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

（2）当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）无极值．
综上所述，n=2时，
当a＞0时，f（x）在x=-1+

2 a

处取得极小值，极小值为f(-1+

2 a

)=

a

2

(1+ln

2

a

).
当a≤0时，f（x）无极值．
（Ⅱ）先证明当x≥0时，f（x）≤x+1，只要设g(x)=x+1-f(x)，则g′(x)=1+

n

(x+1)n+1

-

1

x+1

=

x

x+1

+

n

(x+1)n+1

＞0(x≥0)，
∴g（x）在[0，+∞）是增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，得证；
而b₁，b₂，…，b_k均非负数，且b₁+b₂+…+b_k=1，所以f（b₁）+f（b₂）+…+f（b_k）≤k+1．

点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．