Question

已知椭圆C₁：+=1，抛物线C₂：(y-m)²=2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右?焦点.

（1）当AB⊥x轴时，求p,m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

（2）若p=且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.

Answer 1

(1)解:当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0.直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1，)或(1，).因为点A在抛物线上，所以=2p，即p=.

此时C₂的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.

(2)解:当C₂的焦点在AB上时，由(1)知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1).

由消去y得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0.①

设A、B的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),则x₁,x₂是方程①的两根，x₁+x₂=.

因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，

所以|AB|=(2x₁)+(2x₂)=4-(x₁+x₂)，且|AB|=(x₁+)+(x₂+)=x₁+x₂+p=x₁+x₂+.

从而x₁+x₂+=4(x₁+x₂).所以x₁+x₂=，即=.解得k²=6,即k=±.

因为C₂的焦点F′(,m)在直线y=k(x-1)上，所以m=k，即m=或m=-.

当m=时，直线AB的方程为y=-(x-1)；

当m=-时，直线AB的方程为y=(x-1).