Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，n∈N^*，求a_n．

Answer 1

分析：根据给出的首项等于1，结合给出的递推式可以判断a_n•a_n+1≠0，把给出的递推式两边同时除以a_n•a_n+1，整理后可得数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，以2为公差的等差数列，求出

1

an

后可得a_n．

解答：解：由a₁=1，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1得：a_n•a_n+1≠0．
∴

an-an+1

an•an+1

=2，即

1

an+1

-

1

an

=2  （n∈N^*），
∴数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，以2为公差的等差数列．
则

1

an

=

1

a1

+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1，
所以an=

1

2n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，属中档题．